Prędkość ucieczki

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

**Prędkość ucieczki dla wybranych obiektów**
Obiekt	Wartość [km/s]	W odniesieniu do grawitacji
Słońce	617,5	Słońca
Merkury	4,4	Merkurego
Merkury	67,7	Słońca
Wenus	10,4	Wenus
Wenus	49,5	Słońca
Ziemia	11,2	Ziemi
Księżyc	2,4	Księżyca
Księżyc	1,4	Ziemi
układ Ziemia-Księżyc	42,1	Słońca
Mars	5,0	Marsa
Mars	34,1	Słońca
Jowisz	59,5	Jowisza
Jowisz	18,5	Słońca
Saturn	35,5	Saturna
Saturn	13,6	Słońca
Uran	21,3	Urana
Uran	9,6	Słońca
Neptun	23,5	Neptuna
Neptun	7,7	Słońca
Pluton	1,3	Plutona
Pluton	6,7	Słońca
Układ Słoneczny	~1 000	Drogi Mlecznej
horyzont zdarzeń	299 792,5 (prędkość światła)	czarnej dziury

Prędkość ucieczki (zwana też drugą prędkością kosmiczną lub V_II) - jest to minimalna prędkość jaką musi osiągnąć obiekt, aby opuścił dane pole grawitacyjne.

Prędkość ucieczki przy powierzchni Ziemi wynosi 11,2 km/s.

[edytuj] Wyznaczanie prędkości ucieczki

Aby obliczyć prędkość ucieczki należy posłużyć się zasadą zachowania energii mechanicznej. Pojazd wyrwie się z pola grawitacyjnego planety, kiedy oddali się od niej na nieskończoną odległość i jego prędkość będzie wynosiła zero. Kiedy pojazd znajduje się na powierzchni Ziemi jego całkowita energia mechaniczna jest opisana zależnością:

$E_m = E_k + E_p \,$ (1)

gdzie: E_m - energia mechaniczna, E_k - energia kinetyczna, E_p - energia potencjalna. Energia kinetyczna opisana jest równaniem:

$E_{k}=\frac{mv^2}{2}$ (2)

gdzie: m - masa pojazdu, v - prędkość, a energia potencjalna:

$E_{p}=-\frac{GMm}{r}$ (3)

gdzie: G - stała grawitacji, M - masa planety, r - promień planety. Po podstawieniu (2) i (3) do (1) otrzymamy zależność:

$E_{m1}=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}$ (4)

Energia mechaniczna pojazdu kosmicznego w nieskończoności opisana jest tą samą zależnością. Jego prędkość wynosi zero, a odległość jest równa ∞, co po podstawieniu daje zależność:

$E_{m2}=0-0=0 \,$ (5)

Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej:

$E_{m1} = E_{m2} \,$ (6)

Kiedy do równania (6) podstawimy zależności (5) oraz (4) to otrzymamy równanie:

$\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r} = 0$ (7)

z którego można wyznaczyć wartość v:

$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=c \sqrt{\frac{2GM}{c^2} \frac{1}{r}}=c\sqrt{\frac{r_g}{r}}$ (8)

gdzie

$r_g = \frac{2GM}{c^2}$ jest promieniem Schwarzschilda.

Dla przykładu prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi można obliczyć wiedząc, że:

$r = 6378,14 \operatorname{km} \,$

$M= 5,9736\cdot10^{24} \operatorname{kg}$

$G = 6,6732(31)\cdot10^{-11} \operatorname{m}^3 \operatorname{kg}^{-1} \operatorname{s}^{-2}$

Jeżeli podstawimy te liczby do zależności (8) to uzyskamy wartość:

$v= \sqrt{\frac{2\cdot6,6732(31)\cdot10^{-11} \operatorname{m}^3 \operatorname{kg}^{-1} \operatorname{s}^{-2}\cdot 5,9736\cdot10^{24} \operatorname{kg}}{6378,14 \operatorname{km}}}=11,2\frac{\operatorname{km}}{\operatorname{s}}$

Gdy rozmiar ciała r będzie równy promieniowi Schwarzschilda, prędkość ucieczki z niego będzie równa prędkości światła. Ciało takie nazywamy czarną dziurę.

Pierwszy raz prędkość kosmiczną obliczył Izaak Newton.

[edytuj] Zobacz też

Prędkość ucieczki

Z Wikipedii

[edytuj] Wyznaczanie prędkości ucieczki

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach