Parametry sygnału okresowego

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Sygnał okresowo zmienny to pojęcie stosowane szeroko w elektronice, telekomunikacji, elektrotechnice, akustyce, automatyce, fizyce i innych dziedzinach nauki i techniki. Artykuł zawiera zestawienie definicji podstawowych parametrów stosowanych do opisu sygnałów okresowo zmiennych. W tabeli poniżej zestawiono wartości tych parametrów dla kilku często spotykanych typów sygnałów. Szczegółowe omówienie poszczególnych parametrów, ich znaczenia, sposobów pomiaru i zastosowania znajdują się w odrębnych artykułach.

Spis treści

1 Definicja
2 Okres i częstotliwość
3 Składowe harmoniczne
4 Wartość szczytowa
5 Wartość średnia
6 Wartość skuteczna
7 Współczynniki bezwymiarowe
8 Wartości parametrów dla wybranych przykładowych sygnałów okresowych
9 Źródła
- 9.1 Literatura

[edytuj] Definicja

Sygnałem okresowo zmiennym nazywamy każdą wielkość fizyczną x(t), zależną od czasu, jeżeli spełnia ona warunek

$x(t) = x(t+kT)\,$

gdzie

k = 1,2...

zaś T jest ustaloną wartością (okresem sygnału).

Oznacza to, że wartości sygnału powtarzają się w odstępach czasu będących wielokrotnościami T. Sygnał taki jest funkcją okresową czasu.

[edytuj] Okres i częstotliwość

Najmniejszą wartość T o tej własności nazywamy okresem podstawowym, lub po prostu okresem sygnału. Z okresem związana jest częstotliwość f i pulsacja $ω$ (częstość kołowa):

$f = \frac{1}{T}$

oraz

$\omega = {2}\cdot{\pi}\cdot f$

[edytuj] Składowe harmoniczne

Sygnał okresowo zmienny można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, który może być zapisany na przykład w następującej postaci:

$x(t)=X_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}\cdot\sin(n{\omega}t+\varphi_{n})$

gdzie:

X 0

- składowa stała

X n

- amplituda n-tej harmonicznej

φ n

- przesunięcie fazowe n-tej harmonicznej

Pierwsza harmoniczna nosi też nazwę składowej podstawowej. Sygnał, który zawiera tylko jedną harmoniczną, jest sygnałem sinusoidalnym o amplitudzie X₁

[edytuj] Wartość szczytowa

Wartość szczytowa (ang. peak value), zwana też wartością maksymalną sygnału, jest określona jako:

$X_{max}=max|x(t)|\,$

Wartość maksymalna sygnału sinusoidalnego nie posiadającego składowej stałej jest równa amplitudzie tego sygnału. Stosowane też bywa podobne pojęcie wartości międzyszczytowej (ang. peak-to-peak value):

$X_{pp}=max|x(t)>0| + max|x(t)<0|\,$

Dla sygnału sinusoidalnego wartość międzyszczytowa jest równa podwojonej amplitudzie.

[edytuj] Wartość średnia

Wartość średnia sygnału jest określona wzorem:

$X_{m} = \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T}\,x(t)dx$

Tak określona wartość średnia jest tożsama ze składową stałą X₀ szeregu Fouriera tego sygnału (patrz wyżej). Sygnał,okresowy symetryczny względem osi x=0 ma wartość średnią równą zeru, toteż używa się także średniej z wartości bezwzględnej (w matematyce i teorii sygnałów: pierwszy moment absolutny, w elektrotechnice: wartość średnia sygnału wyprostowanego), która dla sygnałów nierównych tożsamościowo zeru ma wartość dodatnią:

$X_{e}=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}\,|x(t)|dx$

[edytuj] Wartość skuteczna

Wartość skuteczna (ang. RMS value) określa parametry energetyczne sygnału. W elektrotechnice najczęściej podajemy tę właśnie wartość (jeżeli mowa jest o prądzie lub napięciu zmiennym bez dodania określeń: średnie, chwilowe, maksymalne itp. - oznacza to, że mowa jest o wartości skutecznej). Jest ona określona wzorem:

$X_{sk}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}\,x^{2}(t)dx}$

Wartość skuteczną można też wyrazić poprzez amplitudy składowych harmonicznych (współczynniki rozwinięcia sygnału w szereg Fouriera - patrz wyżej):

$X_{sk}=\sqrt{X_{0}^{2}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}^{2}}$

(Powyższy wzór jest treścią twierdzenia Parsevala w teorii szeregów Fouriera)

[edytuj] Współczynniki bezwymiarowe

[edytuj] Współczynnik kształtu

Współczynnik kształtu (ang. waveform factor) jest stosunkiem wartości skutecznej do średniej z wartości bezwzględnej: $k_{k}=\frac{X_{sk}}{X_{e}}$

[edytuj] Współczynnik szczytu

Współczynnik szczytu (ang. crest factor) podaje stosunek wartości maksymalnej (szczytowej) do wartości skutecznej sygnału: $k_{sz}=\frac{X_{max}}{X_{sk}}$

[edytuj] Współczynnik zawartości harmonicznych

Współczynnik zawartości harmonicznych, mierzy w pewien sposób odchyłkę sygnału od przebiegu sinusoidalnego. Stosowane są dwie różne definicje tego współczynnika:

$h_{1}=\frac{\sqrt{\sum\limits_{n=2}^{\infty}X_{n}^{2}}}{X_{1}}$

lub:

$h_{2}=\frac{\sqrt{\sum\limits_{n=2}^{\infty}X_{n}^{2}}}{\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}^{2}}}$

(ta ostatnia wielkość bywa też nazywana współczynnikiem zniekształceń)

[edytuj] Wartości parametrów dla wybranych przykładowych sygnałów okresowych

Poniższa tabela podaje wartości wymienionych wyżej parametrów dla kilku najprostszych przebiegów okresowych. Przyjęto, że przebiegi pokazane w tabeli mają jednostkową wartość szczytową (amplitudę).

Rodzaj sygnału	Postać sygnału	Wartość średnia (bezwzględna)	Wartość skuteczna	Współczynnik kształtu	Współczynnik szczytu	Współczynnik zawartości harmonicznych
Rodzaj sygnału	Postać sygnału	Wartość średnia (bezwzględna)	Wartość skuteczna	Współczynnik kształtu	Współczynnik szczytu	$h 1$	$h 2$
Sygnał stały (DC)	_	$1$	$1$	$1$	$1$	nieokreślony	nieokreślony
Sinusoidalny		$\frac{2}{\pi}\approx 0,637$	$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$	$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\approx 1,11$	$\sqrt{2}\approx 1,414$	$0$	$0$
Sinusoidalny wyprostowany dwupołówkowo		$\frac{2}{\pi}\approx 0,637$	$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$	$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\approx 1,11$	$\sqrt{2}\approx 1,414$	$\approx 0,225$	$\approx 0,219$
Sinusoidalny wyprostowany jednopołówkowo		$\frac{1}{\pi}\approx 0,318$	$\frac{1}{2} = 0,5$	$\frac{\pi}{2}\approx 1,571$	$2$	$\approx 0,441$	$\approx 0,404$
Trójkątny symetryczny		$\frac{1}{2} = 0,5$	$\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577$	$\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,155$	$\sqrt{3}\approx 1,732$	$\sqrt{\frac{\pi^4}{96}-1}\approx 0,121$	$\sqrt{1-\frac{96}{\pi^4}}\approx 0,120$
Prostokątny symetryczny (współczynnik wypełnienia 50%)		$1$	$1$	$1$	$1$	$\sqrt{\frac{\pi^2}{8}-1}\approx 0,483$	$\sqrt{1-\frac{8}{\pi^2}}\approx 0,435$
Piłokształtny		$\frac{1}{2} = 0,5$	$\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577$	$\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,155$	$\sqrt{3}\approx 1,732$	$\sqrt{\frac{\pi^2}{6}-1}\approx 0,803$	$\sqrt{1-\frac{6}{\pi^2}}\approx 0,626$

[edytuj] Źródła

[edytuj] Literatura

Bolkowski, Stanisław: Teoria obwodów elektrycznych. Warszawa: WNT, 2008. ISBN 83-204-3344-9.
Szabatin, Jerzy: Podstawy teorii sygnałów. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008. ISBN 978-83-206-1331-5.