Nierówność Czebyszewa

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Nierówność Czebyszewa podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość nieujemnej zmiennej losowej jest większa lub równa od z góry ustalonej dodatniej liczby.

Jedynym warunkiem na rozkład zmiennej losowej jest jej nieujemność (ściślej: zerowe prawdopodobieństwo $P\{X<0\}\;$ ) Nierówność ta jest więc bardzo ogólnym ograniczeniem. Nierówność Czebyszewa-Bienayme jest odpowiednikiem nierówności Czebyszewa także dla zmiennych nie spełniających tego warunku i często również jest nazywana po prostu nierównością Czebyszewa, co może prowadzić do nieporozumień.

[edytuj] Twierdzenie

Dla każdej zmiennej losowej $\,X$ spełniającej warunek $P\{X<0\}=0\;$ o wartości oczekiwanej $\,E(X)$ , dla każdego $\varepsilon > 0$ zachodzi:

$P\left\{X \ge \varepsilon\right\}\le \frac{E(X)}{\varepsilon}$

[edytuj] Dowód

Z prawdopodobieństwem 1 zachodzą następujące nierówności:

$\,X \ge X \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}} \ge \varepsilon \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}}$

gdzie $\, \mathbf{1}_{A}$ jest funkcją wskaźnikową zdarzenia $\,A$ , zdefiniowaną jako:

$\, \mathbf{1}_{A}(x) = \begin{cases} 0\quad dla\ x \notin A \\ 1\quad dla\ x \in A \end{cases}$

Pierwsza z nierówności wynika w oczywisty sposób z następujących dwóch nierówności (z których pierwsza zachodzi z prawdopodobieństwem 1):

$\,X \ge 0$ oraz $\, 1 \ge \mathbf{1}_{A}$

Druga nierówność przyjmuje postać:

$\, X \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}} \ge \varepsilon \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}} \iff \begin{cases} 0 \ge 0 \quad dla\ X \not\ge \varepsilon \\ X \ge \varepsilon \quad dla\ X \ge \varepsilon \end{cases}$

czyli jest oczywista.

Biorąc wartości oczekiwane powyższych zmiennych losowych i korzystając z elementarnych własności wartości oczekiwanej otrzymujemy łańcuszek nierówności:

$\,E(X) \ge E(X \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}}) \ge E(\varepsilon \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}}) = \varepsilon \cdot E(\mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}}) = \varepsilon \cdot P\{X \ge \varepsilon\}$

i dzieląc skrajne wyrazy przez $\,\varepsilon$ otrzymujemy nierówność Czebyszewa.

Z nierówności Czebyszewa wynikają nierówności: Markowa, Czebyszewa-Bienayme, wykładnicza Czebyszewa.

[edytuj] Zobacz też

Nierówność Czebyszewa

Z Wikipedii

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Dowód

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach