Jakobian

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Przykłady
4 Bibliografia
5 Zobacz też

Jakobian – wyznacznik macierzy zbudowanej z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu pewnego układu funkcji rzeczywistych. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie, pojęcie to badał Michaił Ostrogradski). Istnieje głęboka analogia pomiędzy pochodną funkcji rzeczywistej a jakobianem układu takich funkcji, która jest wykorzystywana w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych.

[edytuj] Definicja

Jeżeli $E$ jest otwartym podzbiorem przestrzeni $\mathbb R^n$ , a funkcja $f=(f_1,\ldots, f_m)\colon E \to \mathbb R^m$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0\in E$ dla pewnych liczb naturalnych $n$ i $m$ , to macierzą Jacobiego funkcji $f$ w punkcie $x 0$ nazywamy macierz:

$f^\prime(x_0) = \begin{bmatrix} {\partial f_1(x_0) \over \partial x_1} & {\partial f_1(x_0) \over \partial x_2} & \cdots & {\partial f_1(x_0) \over \partial x_n} \\ {\partial f_2(x_0) \over \partial x_1} & {\partial f_2(x_0) \over \partial x_2} & \cdots & {\partial f_2(x_0) \over \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\partial f_m(x_0) \over \partial x_1} & {\partial f_m(x_0) \over \partial x_2} & \cdots & {\partial f_m(x_0) \over \partial x_n} \end{bmatrix}$

Jeśli $m = n$ , to wyznacznik macierzy Jacobiego nazywamy jakobianem i oznaczamy $J f$ , $\tfrac{D(f_1,\ldots, f_m)}{D(x_1,\ldots, x_n)}$ bądź $\tfrac{\partial(f_1,\ldots, f_m)}{\partial(x_1,\ldots, x_n)}$ .

[edytuj] Własności

Pod założeniami powyższej definicji, jeśli $D$ jest otwartym podzbiorem przestrzeni $\mathbb{R}^n$ oraz funkcja $g\colon D\to E$ jest różniczkowalna, to funkcja $h=g\circ f$ jest różniczkowalna oraz $J_h=J_g\cdot J_f$ (por. twierdzenie o różniczkowaniu funkcji złożonej).
Jakobian odwzorowania będącego izometrią jest stale równy 1.

[edytuj] Przykłady

Przykład 1. Dla odwzorowania $f=(f_1,f_2)\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ , gdzie

$f_1(x, y) = x^2 + x \cdot y^3$

$f_2(x, y) = x \cdot y + 1$

jakobian oblicza się następująco:

$J_f = {\begin{vmatrix} {\partial f_1 \over \partial x} & {\partial f_1 \over \partial y} \\ {\partial f_2 \over \partial x} & {\partial f_2 \over \partial y} \end{vmatrix}} = \begin{vmatrix} {{\partial (x^2+y^3 \cdot x)} \over {\partial x}} & {{\partial (x^2+y^3 \cdot x)} \over {\partial y}}\\ {{\partial (x\cdot y+1)} \over {\partial x}} & {{\partial (x\cdot y+1)} \over {\partial y}} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}2x+y^3 & 3y^2x \\ y & x \end{vmatrix}=2x^2+xy^3-3xy^3=2x^2-2xy^3$ .

Przykład 2. Dla $f=(f_1,f_2,f_3)\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ , gdzie

$f_1(x, y, z) = \cos x \,$ ,

$f_2(x, y, z) = \sin x \cos y \,$ ,

$f_3(x, y, z) = \sin x \sin y \cos z \,$

jakobian wyraża się

$\begin{array}{lcl} J_f &=& {\begin{vmatrix} {\partial f_1 \over \partial x} & {\partial f_1 \over \partial y} & {\partial f_1 \over \partial z} \\ {\partial f_2 \over \partial x} & {\partial f_2 \over \partial y} & {\partial f_2 \over \partial z} \\ {\partial f_3 \over \partial x} & {\partial f_3 \over \partial y} & {\partial f_3 \over \partial z} \end{vmatrix} } = \begin{vmatrix} -\sin {\color{Brown}x} & 0 & 0 \\ \cos {\color{Brown}x} \ \cos {\color{blue}y} & - \sin {\color{Brown}x} \sin {\color{blue}y} & 0 \\ \cos {\color{Brown}x} \ \sin {\color{blue}y} \ \cos {\color{Peach}z} & \sin {\color{Brown}x} \ \cos {\color{blue}y} \ \cos {\color{Peach}z} & - \sin {\color{Brown}x} \ \sin {\color{blue}y} \ \sin {\color{Peach}z} \end{vmatrix} \\ &=& - \sin^3 {\color{Brown}x} \sin^2 {\color{blue}y} \sin {\color{Peach}z}\end{array}$

[edytuj] Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa: PWN, 1966, ss. 364-369.
Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976, ss. 181-183.

[edytuj] Zobacz też

Jakobian

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach