Energia kinetyczna

Z Wikipedii

W fizyce, energia kinetyczna to energia ciała, związana z jego ruchem.

Dla ciała o masie m i prędkości v dużo mniejszej od prędkości światła (v<<c), gdzie c jest prędkością światła w próżni, energia kinetyczna wynosi:

$E_k = \frac{1}{2} m v^2$

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

$E_k = \frac{1}{2} \mathbb \omega \hat I \mathbb \omega = \frac{1}{2} \sum_{ij}\omega_i I_{ij} \omega_j$ ,

gdzie:

$\mathbb \omega$ - prędkość kątowa,

$\hat I= (I_{ij})$ - tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

$E_k = \frac{1}{2} I \omega^2$

gdzie:

I - odpowiednim momentem bezwładności,

ω - prędkość kątowa.

[edytuj] Dla dowolnych prędkości

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}\,$

gdzie

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$

lub

$E_{k}=mc^{2} \left(\gamma -1 \right)\,$

lub

$E_k = m c^2\left( \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}-1 \right)$

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej $\frac{v}{c}\,$

$\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} = 1 + \frac{1}{2} v^2/c^2 + \frac{3}{8} v^4/c^4 + \dots$

zatem:

$E_k = mc^2 \left(\frac{1}{2} v^2/c^2 + \frac{3}{8} v^4/c^4 + \dots\right) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8} m v^4/c^2 + \dots$ .

Dla prędkości v małych w porównaniu z prędkością światła (v<<c) można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej):

$E_k \approx \frac{1}{2} m v^2$ .

[edytuj] Operator energii kinetycznej

W mechanice kwantowej wprowadza się pojęcie operatora energii kinetycznej $\hat T$ . Dla cząstki o masie m operator ten ma postać ( $\hat p$ jest operatorem pędu