Teoría de modelos
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En matemática, teoría de modelos es el estudio de la representación de conceptos matemáticos en términos de la teoría de conjuntos, o el estudio de modelos que subyacen en sistemas matemáticos. Supone que hay algunos objetos matemáticos preexistentes y hace preguntas acerca de cómo o qué puede ser probado dados: los objetos, algunas operaciones o relaciones entre los objetos y un conjunto de axiomas.
La independencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de otros axiomas de la teoría de conjuntos (probado por Paul Cohen y Kurt Gödel) son los dos resultados más famosos de la teoría de modelos. Se ha probado que tanto el axioma de elección como su negación son consistentes con los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. Se obtiene el mismo resultado con la hipótesis del continuo. Estos resultados son aplicaciones de métodos de la teoría de modelos a la teoría axiomática de conjuntos.
Un ejemplo de los conceptos de la teoría de modelos es la teoría de los números reales. Comenzamos con un conjunto de individuos, donde cada individuo es un número real y un conjunto de relaciones y/o funciones como { ×, +, −, ., 0, 1 }. Si hacemos una pregunta "∃ y (y × y = 1 + 1)" en este lenguaje, entonces está claro que la sentencia es verdadera para reales, ya que existe tal número real y, a saber la raíz cuadrada de 2. Para los números racionales, sin embargo, la sentencia es falsa. Una proposición similar, "∃ y (y × y = 0 − 1)", es falsa en los reales, pero es verdadera en los números complejos, donde i × i = 0 − 1.
La teoría de modelos se preocupa de lo que se puede probar con sistemas matemáticos dados, y cómo estos sistemas se relacionan entre sí. Se preocupa particularmente de qué sucede cuando tratamos de extender algún sistema agregando nuevos axiomas.
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[editar] Referencias
- Wilfrid Hodges, A shorter model theory (1997) Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1
- Wilfrid Hodges, Model theory (1993) Cambridge University Press.
- C. C. Chang, H. J. Keisler Model theory (1977) ISBN 0720406927
- David Marker Model Theory: An Introduction (2002) Springer-Verlag, ISBN 0387987606
- María Manzano, Teoría de Modelos, (1989), Madrid, Alianza.